函数的概念。
了解了函数的概念后，还有个让很多同学都头疼的问题，就是会出现一个 f。很多同学问老师 f 到底是什么？完全理解不了，我先把这擦一擦。
什么是 f？都说了函数是一种变量关系，是 x 从 a 转换到 b 的过程中，它的身份从 x 变成了 y，那么这个过程到底是怎么变的？是把 x 平方了，还是把 x 乘二倍了，还是给 x 取了个倒数？这种所谓的变化方式就叫做 f，也就是所说的映射关系。
f 是一种作用方式，可以不用去管那些名称，能理解它是一种作用关系就行。什么意思？拿刚才说的函数举例，y 等于二 x，什么意思？这里面的每一个函数值都是把所对应的自变量乘了一个二倍得到的。当 x 得 1 的时候 y 就会变成 1 乘以 2，当 x 等于 2 的时候 y 就会变成 2 乘以 2。
换句话说，每一个 x 乘了一个二倍以后就会变成函数值 y，所以 f 这段关系就叫做 f(x)=二倍的 x。f 相当于是一个作用，把 x 扔到小机器里被作用完了就会变成 x 的二倍，这个 f 就叫做函数关系。
明白了吧？很多同学不理解的原因是因为初中的时候明明叫二 x，就是 y 等于二 x，怎么到了高阶以后 y 不让用了，非得处心积虑变成 f，对不对？f 为了方便，描述其实说白了就是给函数取一个名字，它是一个作用，也可以把它理解为是一个机器。
这个机器少写个 g，这样写是一个机器，什么意思？机器，比如现在生产原材料是山楂，同样原材料是山楂，把山楂扔到不同的机器里去，比如扔到 g、h，这样三个不同的机器生产出来结果可能是糖葫芦，还可能是山楂卷，还有可能是山楂还能做果丹皮，还可能是一个果丹皮。
所以不同的机器对于山楂原材料的处理方式不同，比如 f(x)，把 x 也就是山楂扔到叫做 f 的机器以后会变成原来的二倍，它就变成了糖葫芦。g(x)可能就会变成 x 平方，它就变成了山楂。h(x)，把 x 扔到叫 h 的机器里以后会变成什么？它会变成 x 的倒数，也就是会变成原，原材料的倒数就会变成果丹皮，就是这样的。
所以不同的函数取一个不同的名字，可以是 f，可以是 g，可以是 h，可以是 fi，可以是阿尔法都行，这个名字任取，但是括号里的 x 就是要说明原材料到底是谁的，听明白了吧？
比如了解这个关系以后，当 x 取 1 的时候所对应的横值就是 2，怎么表示？叫做 f(1)，把 1 作为原材料扔到机器里以后就会变成 1 的二倍，就会变成 2，这个 2 就是 1 被作用了以后生产出的结果，这个结果管它叫做函数值，这就是所谓的对应关系，明白了吧？
扔进去 1 就是 2 乘以 1，扔进去 2 就会变成 2 乘以 2，扔进去个狗就会变成 2 乘以个狗，扔进去啥就会变成二乘以啥。很多同学不理解 f(x+1)是个什么东西，扔进去的不是 x+1 吗？产出的就是二倍的 x+1，就这么简单，听明白了吧？扔进去的是任何一个东西产出的只是这个东西的二倍就行了，这个东西认位置不认人，听明白了吧？这就是函数的定义。
了解了这个函数。